Thomas Plehn online

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M.Ed.

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(Diese Arbeit darf hier nicht mehr angeboten werden. Das Copyright liegt bei GRIN. Daher ist auch der Bezug nur noch über GRIN möglich. Bezug hier.)

(Master of Education)

In meiner Staatsexamensarbeit beschäftigte ich mich mit "Markov Chain Monte Carlo", auch abgekürzt als MCMC. Dabei handelt es sich, wie der Name schon verrät um eine Monte Carlo Methode. Allen Monte Carlo Methoden ist gemein, dass sie von einer mehr oder minder komplizierten Verteilung zufällige Szenarien erzeugen (beispielsweise Aktienkursszenarien durch stochastische Simulation). Diese Szenarien werden dann genutzt um Aussagen über Erwartungswerte oder andere Kennzahlen der Verteilung zu treffen. Diese Aussagen sind natürlich nur zu gebrauchen, wenn man sehr viele zufällig erzeugte Szenarien auswertet. Die Methode kommt also immer dann zum Einsatz, wenn es nicht möglich ist, aus der Verteilung der Szenarien direkt Rückschlüsse auf die statistischen Kennzahlen der Verteilung zu ziehen, weder auf analytischem Wege, noch durch numerische Integration (bei sehr vielen Dimensionen steigt der Aufwand rapide an).

Markov Chain Monte Carlo ist nun eine spezielle Monte Carlo Methode unter Zuhilfenahme von Markovketten. Diese kommt immer dann zum Einsatz, wenn es nicht möglich ist, von einer Verteilung auf einfache Weise Szenarien zu erzeugen. Eine Markovkette fängt bei einem Zustand an und geht von einem bestimmten Zustand mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zu einem anderen Zustand über. Diese Übergangswahrscheinlichkeiten stehen in einer Übergangsmatrix. Die Markovkette "wandert" also durch eine vorbestimmte Zustandsmenge. Wie oft dabei welcher Zustand angelaufen wird, gibt die sog. stationäre Verteilung an, wenn die Kette sehr lange läuft. Diese kann man aus der Übergangsmatrix berechnen. Man hat nun also auf diese weise auch einen Mechanismus realisiert, um aus einer festen Zustandsmenge Zustände zufällig zu generieren. Der Knackpunkt ist nun, dass diese Form der Zustandsgenerierung oft einfacher zu implementieren ist, als direkt auf eine Verteilung zurückzugreifen. Die mathematische Herausforderung besteht nun darin, zu einer vorgegebenen Verteilung von Zuständen eine Markovkette zu definieren, die die geforderte Verteilung gerade als stationäre Verteilung aufweist. Dann kann man den Ziehungsprozess durch die Markovkette ersetzen.

In der Arbeit gibt es mehrere konkrete Beispiele für den Einsatz solcher Methoden. Quelltexte meiner Implementierungen sind beigefügt.

Last Updated on Sunday, 03 March 2013 13:30  

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